자연을 강의한다 - Nacture

$10$ 이하의 자연수 $k$에 대하여 이차방정식 $x^2 +ax-k=0$의 두 근의 절댓값의 비가 $1:2$가 되도록 하는 모든 정수 $a$의 값의 곱을 구하시오. 풀이) 두 근을 $c$와 $d$로 두고 근과 $a$, $k$의 관계를 표로 정리한다. $x^2+ax-k=(x-c)(x-d)$ $x^2+{\color{Blue}{a}}x{\color{Red}{-k}}=x^2{\color{Blue}{-(c+d)}}x+{\color{Red}{cd}}$ 표를 정리 할 때 부호에 신경을 써야하는데 $a$는 두 근을 더한 값에 $-$가 붙어서 $a=-(c+d)$라는 것과 $k$는 두 근의 곱에 $-$가 붙어서 $k=-cd$라는 것에 주의해야 한다. 따라서 $10$이하의 $k$에 대해 가능한 모든 $a$값의 곱은 $4$..

두 실수 $a$, $b$와 $f(x)=x^2+(a+1)x+b$에 대하여 방정식 $f(x+i)=a+2b$의 한 근이 $a$일 때, $a-b$의 값은? ① $f(x+i)$를 전개 한다. $\begin{align*} f(x+i)&=(x+i)^2 +(a+1)(x+i)+b \\ &=x^2 {\color{Red} {+2ix}}-1+ax{\color{Red} {+ai}}+x{\color{Red} {+i}}+b \\ &= {\color{Red} {(2x+a+1)i}}+x^2+(a+1)x+b-1\\ \end{align*}$ ②$f(x+i)=a+2b$의 한 근이 $a$ 라고 했으니까 $x$대신에 $a$를 넣어서 $f(a+i)=a+2b$를 만족하는 방정식을 푼다. $\begin{align*} f(a+i)&=(2a+a+1)i..

두 다항식 $x^3 +2x^2 +ax-2$와 $x^3 -2x^2 +bx+2$가 모두 일차항의 계수가 $1$이고 상수항이 $0$이 아닌 두 일차다항식 $f(x)$, $g(x)$를 인수로 가질 때, 두 상수 $a$, $b$에 대하여 $a^2 +b^2$의 값은? (단, $f(x)\neq g(x)$) 풀이) ①두 다항식 $x^3 +2x^2 +ax-2$와 $x^3 -2x^2 +bx+2$가 모두 일차항의 계수가 $1$이고 상수항이 $0$이 아닌 두 일차다항식 $f(x)$, $g(x)$를 인수로 가진다는 의미는 "2개의 공통 해"를 가진다는 의미이다. 즉, $x^3 +2x^2 +ax-2$와 $x^3 -2x^2 +bx+2$ 이 두개의 식에서 $a$와 $b$의 값을 적절히 조절하면 아래 그래프와 같이 $x$축상에 교점이..

차수가 3인 다항식 $P(x)$를 $x^2 +2$로 나누었을 때의 나머지가 $x+1$이고, $x-2$로 나누었을 때의 나머지가 9이다. 다항식 $P(x)$를 $(x^2 +2)(x-2)$로 나누었을 때의 나머지를 $R(x)$라 할 때, $R(3)$의 값을 구하시오. 풀이) ①다항식 $P(x)$를 $(x^2 +2)(x-2)$로 나누었을 때의 나머지를 $R(x)$ 이 문장을 식으로 표현하면 $P(x)=(x^2 +2)(x-2)Q+R(x)$ 위와 같이 표현 가능한데, $(x^2 +2)(x-2)$는 3차식이므로 $R(x)$는 2차식이 돼야 한다. $R(x)=ax^2 +bx+c$ 라고 하면 $P(x)=(x^2 +2)(x-2)Q+ax^2 +bx+c$ 라고 쓸 수 있다 ②$P(x)$를 $x^2 +2$로 나누었을 때의 나..

[상용로그]우리가 일상생활에서 사용하는 수는 10진법이라서 밑이 10인 로그를 가장 많이 사용함.그래서 맨날 $\log_{10} N$ 이렇게 쓰기 귀찮으니까 10을 그냥 생략하고 $\log N$ 이렇게 씀 [상용로그를 쓰는 이유]우리가 쓰는 모든 숫자는 1보다 크거나 같고 10보다 작은 숫자와 10의 거듭제곱의 곱으로 쓸 수 있다.예)$3=3\times 10^{0}$$34=3.4\times 10^{1}$$345=3.45\times 10^{2}$$3456789=3.456789\times 10^{6}$$0.1=1\times 10^{-1}$$0.123=1.23\times 10^{-1}$$0.0003456=3.456\times 10^{-4}$ 즉, 10진법으로 이루어진 숫자는 아래와 같이 분리가 가능하다. $$..

[로그의 정의]로그는 어떤 수 $a$를 몇 번 거듭제곱하면 $N$을 만들 수 있을까?이런 궁금증에서부터 비롯된 것이다.이 상황을 수식으로 표현하면$$a^{\square}=N$$이렇게 표현 가능한데, 이 때 $\square$ 안에 들어갈 녀석을 $\log_{a}N$ 이렇게 표현한다.즉, $a$를 $\log_{a}N$번 거듭제곱하면 $N$을 만들 수 있다는 것이다. 결국 원래 로그가 있었던 위치는 지수가 있던 곳이기 때문에 지수법칙과 매우 밀접한 관련이 있다. [로그의 성질] ① 어떤 수를 1로 만들어주는 지수는 1이다.$$\log_{a} 1=0$$이 식은 지수법칙 ③$a^{0}=1$ 이 식에서 유도된다. 어떤 수든 0번 거듭제곱 한 것은 1이 된다는 것을 이해하고 있어야 한다.즉, $a$를 $\log_{a..

[거듭제곱] 거듭제곱이란 어떤 수를 여러 번 반복해서 곱해주는 것이다. 예) $a$를 3번 곱함 : $a \times a \times a = a^{3}$ [지수법칙] 밑($a$)가 양수라는 전제 하에서 지수를 계산하는 규칙들을 모아놓은 것. 밑이 양수가 돼야 하는 이유 : 만약에 밑이 음수라면 짝수번 거듭제곱 할 때 마다 양수가 돼서 계산 규칙이 복잡해짐. 고등학교 과정에서는 밑이 양수인 경우만 다룸. ① 가장 중요하고 기본이 되는 지수 법칙 - 밑의 거듭제곱의 곱이 지수의 합으로 바뀐다.$$a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$$ 예) $${\color{Red} {a^{2}}}\times {\color{Blue} {a^{3}}}={\color{Red} {a \times a}} \times{\c..

지난 글에서 어떤 함수를 $x$에 관한 함수 여러개로 쪼개서 더하는 방식으로 만든게 멱급수라는 이야기를 했었다. 55라는 숫자는 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 이렇게 표현 할 수도 있는 것 처럼어떤 함수 $f(x)$를 $x$에 관한 함수들의 합으로 만들 수 있을거라는 믿음으로 시작하면 된다. 오늘은 멱급수중에 가장 기본적이고 중요한 테일러급수와 매클로린급수에 대해 설명하고, 이 급수를 이용해 $\sin x$를 멱급수로 만드는 과정을 보여주려고 한다. 자꾸 반복해서 설명하지만, 우리가 어떤 함수를 급수로 전개하는 이유는 풀어야 하는 함수가 너무 복잡하니까 그냥 그 함수를 다루는 일은 포기하고, 최대한 비슷한 함수를 만들어서 계산을 진행하는 전략적 행동이다. 즉, 함수를 급수형태로 바꿔서 계산을 진행..

물리를 공부하다 보면 처음부터 정확한 해를 찾기 어려우니까 approximation(근사치)를 찾아서 점점 정확한 근사값을 찾아가는 전략을 취한다. 이 때 필요한 것이 "급수 전개"이다. 해가 어떤 형태인지 잘 모를 경우에 해를 멱급수로 놓고 문제를 푸는데... 이 전략이 뭐냐하면,우리가 찾으려는 진짜 해는 $y$인데...$y$가 삼각함수인지, 특수함수인지... 아얘 감도 안 잡히는 경우에 $$y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$$ 위와 같은 형태라고 일단 가정하고,고차항은 별 영향력이 없으니까 무시해서 대충 2차항이나 3차항까지만 구해서 $$y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2..

양자역학 세 번째 강의에서 [확률 흐름 (Probability flux)] 이라는 개념에 대해 소개 했다.오늘 설명할 계단형 포텐셜을 만난 전자의 운동 문제가 바로 이 개념이 필요한 문제이다. Step potential 문제의 조건은 아래 그림과 같다. 포텐셜이 $x=0$인 지점에서 갑자기 $V_0$ 만큼 증가해서 마치 계단 모양의 포텐셜을 형성 할 때, 이 계단형 포텐셜을 지나가는 전자에 대한 문제이다. 원래 이 문제도 전자의 에너지 $E$가 $V_0$보다 클 때와 작을 때를 나눠서 푸는데, $V_0< E$ 인 경우의 문제를 풀면 나머지 문제는 자동으로 쉽게 풀리니까 위 그림과 같은 상황으로 문제를 풀도록 하겠다. 위의 그림과 같이 $\psi=Ae^{ik_{1}x}$의 파동함수인 전자가 왼쪽에서 오른쪽..