양자역학 4강. 계단형 퍼텐셜 (step potential), 반사계수와 투과계수 구하기 (reflection and transmission coefficient)

양자역학 세 번째 강의에서 [확률 흐름 (Probability flux)] 이라는 개념에 대해 소개 했다.

오늘 설명할 계단형 포텐셜을 만난 전자의 운동 문제가 바로 이 개념이 필요한 문제이다.

Step potential 문제의 조건은 아래 그림과 같다.

포텐셜이 $x=0$인 지점에서 갑자기 $V_0$ 만큼 증가해서 마치 계단 모양의 포텐셜을 형성 할 때, 이 계단형 포텐셜을 지나가는 전자에 대한 문제이다.

원래 이 문제도 전자의 에너지 $E$가 $V_0$보다 클 때와 작을 때를 나눠서 푸는데, $V_0< E$ 인 경우의 문제를 풀면 나머지 문제는 자동으로 쉽게 풀리니까 위 그림과 같은 상황으로 문제를 풀도록 하겠다.

위의 그림과 같이 $\psi=Ae^{ik_{1}x}$의 파동함수인 전자가 왼쪽에서 오른쪽으로 진행하다가 $x=0$인 지점에 도달해서 potential step을 만나면 아래 그림과 같이 일부는 반사되고 일부는 투과해서 진행한다.

첫번째 그림과 두번째 그림을 보면 $k$ 를$x\leq 0$인 영역에서는 $k_1$이라고 하고, $0\leq x$인 곳에서는 $k_2$로 해서 둘을 구분지었는데, 그 이유는

$$k^2 =\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}$$

위 식과 같은 관계가 있기 때문이다.

이게 어디서 나온 식인지 모른다면 양자역학 1강을 다시 보고 오도록 하자.

$x\leq 0$인 영역에서는 $V(x)=0$이기 때문에

$$k_{1}^{2} =\frac{2mE}{\hbar^2}$$

$$k_1 = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$

위와 같은 $k$값을 갖고,

$0 \leq x$인 영역에서는 $V(x)=V_0$이기 때문에

$$k_{2}^{2} =\frac{2m(E-V_0 )}{\hbar^2}$$

$$k_2= \frac{\sqrt{2m(E-V_0 )}}{\hbar}$$

이렇게 두 영역의 $k$값이 달라져서 $k_1$과 $k_2$로 구분 지은 것이다.

지금까지의 상황을 정리해보면 아래 그림과 같다.

$x\leq 0$인 영역에서는 오른쪽 방향의 입사파 $\psi_I =Ae^{ik_{1}x}$와 왼쪽으로 진행하는 반사파 $\psi_R =Be^{-ik_{1}x}$가 존재하고, $0\leq x$인 영역에서는 포텐셜 장벽을 투과해서 오른쪽으로 진행하는 투과파 $\psi_T =Ce^{ik_{2}x}$만 존재한다.

따라서 장벽의 왼쪽 영역 $\psi_{1}(x)$ 과 오른쪽 영역 $\psi_2 (x)$ 의 파동함수는 아래와 같다

$$\psi_{1}(x)=\psi_I +\psi_R =Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_1 x}$$

$$\psi_{2}(x)=\psi_T =Ce^{ik_{2}x}$$

이 때,

$$k_1 = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$

$$k_2= \frac{\sqrt{2m(E-V_0 )}}{\hbar}$$

이제 우리의 목적을 다시 상기시켜보자.

이 글의 목적은 전자가 step potential을 만났을 때 일부는 투과하고 일부는 반사되는데 그 비율이 얼마나 되는지를 구해보는 것이다.

다시 말 해서 "반사될 확률"과 "투과할 확률"을 알고 싶은 것이기 때문에 양자역학적 확률이 흘러가다가 반사되고 투과되는 상황을 수식화 해야 한다는 것이다.

이걸 하려고 3강에서 확률흐름이란 것을 정의 했던 것이다.

3강의 결과를 가져오면, 확률 흐름(probability flux)은 아래와 같은 식으로 표현된다.

$$J=\frac{\hbar}{2im}\left ( \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x}-\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\psi \right )$$

우선, 위 식을 이용해 입사파 (Incident wave)의 확률 흐름부터 구해보자

$$J_{I}=\frac{\hbar}{2im}\left ( \psi_{I}^{*} \frac{\partial \psi_{I}}{\partial x}-\frac{\partial \psi_{I}^*}{\partial x}\psi_{I}\right )$$

이 때, ${\color{Red} {\psi_I=Ae^{ik_{1}x}}}$이고, ${\color{Blue} {\psi_I ^* =Ae^{-ik_{1}x}}}$ 이므로

$$\begin{align*} J_{I}&=\frac{\hbar}{2im}\left [ \left ({\color{Blue} {Ae^{-ik_{1}x}}} \right ) \frac{\partial }{\partial x}\left ({\color{Red} {Ae^{ik_{1}x}}} \right )-\frac{\partial }{\partial x}\left ( {\color{Blue} {Ae^{-ik_{1}x}}} \right )\left ({\color{Red} {Ae^{ik_{1}x}}} \right ) \right ] \\ &= \frac{\hbar}{2im}\left [ \left ({\color{Blue} {Ae^{-ik_{1}x}}} \right ) \left ( ik_{1} \right )\left ({\color{Red} {Ae^{ik_{1}x}}} \right )-\left ( -ik_{1} \right )\left ( {\color{Blue} {Ae^{-ik_{1}x}}} \right )\left ({\color{Red} {Ae^{ik_{1}x}}} \right ) \right ]\\ &= \frac{\hbar}{2im}\left [ \left ( ik_{1} \right )\left | A \right |^{2} -\left ( -ik_{1} \right )\left | A \right |^{2} \right ]\\ &= \frac{\hbar}{2im}\left ( 2ik_{1} \right )\left | A \right |^{2}\\ &= \frac{\hbar k_{1}}{m}\left | A \right |^{2}\end{align*}$$

위와 똑같은 과정을 반사파와 투과파를 가지고 하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$J_{I}=\frac{\hbar k_{1}}{m}\left | A \right |^{2}$$

$$J_{R}=\frac{\hbar k_{1}}{m}\left | B \right |^{2}$$

$$J_{T}=\frac{\hbar k_{2}}{m}\left | C \right |^{2}$$

이제 반사율과 투과율을 정의해보자

반사율 $(R)$이라는 것은 입사된 흐름 $(J_I)$중에 반사된 흐름 $(J_R )$ 의 비율이기 때문에 아래와 같이 표현 할 수 있다.

$$R=\frac{J_R}{J_I}=\frac{\frac{\hbar k_{1}}{m}\left | B \right |^{2}}{\frac{\hbar k_{1}}{m}\left | A \right |^{2}}=\frac{\left | B \right |^{2}}{\left | A \right |^{2}}$$

같은 논리로 투과율 $(T)$ 는 아래와 같다

$$T=\frac{J_T}{J_I}=\frac{\frac{\hbar k_{2}}{m}\left | C \right |^{2}}{\frac{\hbar k_{1}}{m}\left | A \right |^{2}}=\frac{k_{2} \left | C \right |^{2}}{k_{1} \left | A \right |^{2}}$$

위 식에서 $k_1$과 $k_2$는 전자의 에너지와 potential $V$를 알면 바로 구해지는 값이기 때문에 결국 문제는 $A, B, C$를 구하는 문제로 바뀐다.

문제를 풀기 위해 경계조건에 식을 대입 해 보자

경계조건 1 : 경계지점에서 함수 값이 같아야 한다.

$$\psi_1 (0)=\psi_2 (0)$$

$$Ae^{ik_{1}\cdot 0}+Be^{-ik_1 \cdot 0}=Ce^{ik_{2}\cdot 0}$$

$$A+B=C$$

경계조건 2 : 경계지점에서 그래프의 기울기가 같아야 한다.

$$\frac{d \psi_1 (0)}{d x}=\frac{d \psi_2 (0)}{d x}$$

$$\frac{d }{d x}\left (Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_1 x} \right )_{x=0}=\frac{d }{d x}\left ( Ce^{ik_{2}x} \right )_{x=0}$$

$$\left (ik_1\right ) \left (A e^{ik_{1}x} \right )_{x=0} +\left (-ik_1 \right ) \left (B e^{-ik_{1}x} \right )_{x=0}=\left (ik_2 \right ) \left (C e^{ik_{2}x} \right )_{x=0}$$

$$ik_1 A - ik_1 B = ik_2 C$$

$$k_1 A - k_1 B = k_2 C$$

따라서 경계조건 1과 2를 모두 만족하는 $A, B, C$를 찾으려면 $A+B=C$와 $k_1 A - k_1 B = k_2 C$ 이 두 식의 연립방정식을 풀면 된다.

[연립방정식]

$$\left\{\begin{matrix} A+B=C\\ k_1 A - k_1 B = k_2 C \end{matrix}\right.$$

그런데 우리는 위에서 반사율 $R$이 아래와 같은 식으로 표현된다는 것을 이미 구했다.

$$R=\frac{\left | B \right |^{2}}{\left | A \right |^{2}}$$

$A$와 $B$의 관계식을 만들기 위해 $C$와 관련된 항을 제거하자.

그러기 위해 $A+B=C$의 양 변에 $k_2$를 곱하면 아래와 같이 된다.

$$k_2 A + k_2 B = k_2 C$$

이제 위 식에서 $k_1 A - k_1 B = k_2 C$를 빼 보자

\begin{matrix} & k_2 A + k_2 B &= k_2 C\\ -) & k_1 A - k_1 B &=k_2 C \\ \hline &\left (k_2-k_1 \right )A+\left (k_2+k_1 \right )B &=0\\ \end{matrix}

이렇게 얻은 관계식

$$\left (k_2-k_1 \right )A+\left (k_2+k_1 \right )B=0$$

를 정리하면

$$-\left (k_1-k_2 \right )A+\left (k_1+k_2 \right )B=0$$

$$\left (k_1+k_2 \right )B=\left (k_1-k_2 \right )A$$

$$\frac{B}{A}=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}$$

즉, 반사율 $R$을 $k_1$과 $k_2$로 표현하면

$$R=\frac{\left | B \right |^{2}}{\left | A \right |^{2}}=\frac{\left (k_1-k_2 \right )^2}{\left (k_1+k_2 \right )^2}$$

위와 같은 관계가 있다는 것을 알 수 있다.

이 관계를 물리적으로 해석 하는 것은 투과율까지 구한 다음에 하도록 하겠다.

이제 투과율을 구할 차례이다.

투과율은

$$T=\frac{k_{2} \left | C \right |^{2}}{k_{1} \left | A \right |^{2}}$$

위와 같은 관계이기 때문에 이번에는 연립방정식에서 $B$와 관련된 항을 제거해서 $A$와 $C$의 관계식을 만들어야 한다.

또 스크롤 올려서 연립방정식 확인하기 귀찮으니까 식을 가져오자.

[연립방정식]

$$\left\{\begin{matrix} A+B=C\\ k_1 A - k_1 B = k_2 C \end{matrix}\right.$$

$B$와 관련된 항을 없애기 위해 이번에는 연립 방정식의 첫번째 식에 $k_1$을 곱해서 두 식을 더해보자

$$\begin{matrix} & k_1 A + k_1 B &= k_1 C\\ +) & k_1 A - k_1 B &=k_2 C \\ \hline &2k_1 A&=\left (k_1 +k_2 \right )C\\ \end{matrix}$$

마지막 결과 $2k_1 A=\left (k_1 +k_2 \right )C$ 를 정리하면

$$\frac{C}{A}=\frac{2k_1}{k_1+k_2}$$

위와 같은 관계를 얻을 수 있다.

이 관계식을 

$$T=\frac{k_{2} \left | C \right |^{2}}{k_{1} \left | A \right |^{2}}$$

위 식에 대입하면, 투과율을 $k_1$과 $k_2$로 표현 할 수 있다.

$$T=\frac{k_{2} \left | C \right |^{2}}{k_{1} \left | A \right |^{2}}=\frac{k_{2} \left ( 2k_1 \right )^{2}}{k_{1} \left (k_1+k_2 \right )^{2}}=\frac{4k_1k_2}{\left (k_1+k_2 \right )^{2}}$$

[결론]

Step potential을 지나가는 전자의 파동은 potential 장벽에서 일부 반사되고 나머지는 투과한다.

이 때 반사율 "$R$"과 투과율 "$T$"는 각각 아래와 같다.

$$R=\frac{\left (k_1-k_2 \right )^2}{\left (k_1+k_2 \right )^2}$$

$$T=\frac{4k_1k_2}{\left (k_1+k_2 \right )^{2}}$$

여기서 $k_1$과 $k_2$는 각각 아래와 같다.

$$k_1 = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$

$$k_2= \frac{\sqrt{2m(E-V_0 )}}{\hbar}$$

이 결과가 말이 되는지 한 번 따져보자.

만약 $V_0 =0$이라면 $k_1 = k_2$가 되기 때문에 반사율의 분자부분 $(k_1-k_2)^2=0$이 되어서 반사는 없고, 투과율은 1이 되는 결과가 나온다.

$V_0 =0$이란 의미는 potential 장벽이 없다는 의미와 같기 때문에 파동이 반사되지 않는다는 것은 당연한 결과이다.

반대로 장벽이 매우 높아서 $V_0 =\infty$라고 하면, $k_2= \frac{\sqrt{2m(E-V_0 )}}{\hbar}$는 엄청 커지고, 이에 비해 $k_1 = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$의 크기는 엄청 미미한 효과만 주게 된다.

즉, 

$$R=\frac{\left (k_1-k_2 \right )^2}{\left (k_1+k_2 \right )^2}=1$$

로 반사율이 1에 가까워 진다.

이는, 퍼텐셜이 높으면 투과가 힘들기 때문에 거의 다 반사된다고 해석 할 수 있고, 이 역시 말이 되는 해석이다.

즉, 우리는 이번 문제를 통해 확률 흐름이란 개념이 왜 필요한지 알았고, 반사율과 투과율을 구하는 방법을 알 수 있었다.