자연을 강의한다 - Nacture

양자역학 세 번째 강의에서 [확률 흐름 (Probability flux)] 이라는 개념에 대해 소개 했다.오늘 설명할 계단형 포텐셜을 만난 전자의 운동 문제가 바로 이 개념이 필요한 문제이다. Step potential 문제의 조건은 아래 그림과 같다. 포텐셜이 $x=0$인 지점에서 갑자기 $V_0$ 만큼 증가해서 마치 계단 모양의 포텐셜을 형성 할 때, 이 계단형 포텐셜을 지나가는 전자에 대한 문제이다. 원래 이 문제도 전자의 에너지 $E$가 $V_0$보다 클 때와 작을 때를 나눠서 푸는데, $V_0< E$ 인 경우의 문제를 풀면 나머지 문제는 자동으로 쉽게 풀리니까 위 그림과 같은 상황으로 문제를 풀도록 하겠다. 위의 그림과 같이 $\psi=Ae^{ik_{1}x}$의 파동함수인 전자가 왼쪽에서 오른쪽..

오늘 다룰 내용은 문제를 풀기 위해 알아야 할 개념 중에 probability flux 라는 것인데, 이 개념은 책마다 다양한 용어를 사용하고 있다.확률 흐름, 전류 밀도, 확률 다발, flux 등등 여러가지 이름으로 불려서 헷갈릴 수 있기 때문에 오늘 유도하는 공식의 형태와 의미를 잘 이해하고 기억해서 어떤 이름으로 등장하더라도 바로 알아 챌 수 있도록 하자. 확률 흐름은 전하에 대한 연속방정식 (Continuity equation) $$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{J}=0$$ 위의 식으로부터 유도되는 개념이라서 Current density라고 지칭하는 책도 있다. 암튼 이 연속방정식이 뭔지부터 살펴보자. 식을 살펴보니 발산(Dive..

[상자 속 입자 문제][Infinite potential well problem] 이 문제는 양자역학 문제를 푸는데 있어 가장 기본이 되는 문제이다.그래서 인터넷 조금만 뒤져보면 엄청 자세하게 풀이가 되어있는 문제다.이 글도 인터넷의 다른 글과 별로 다르지 않을 것이다.그래도 이 블로그 말고 다른데 검색하는것도 귀찮은 사람들을 위해서 할 건 하고 진도를 빼도록 하겠다. 일단 이 문제의 조건은 이렇다.$0\leq x \leq a$인 영역 (아래 그림에서 영역2)에서만 Potential이 $0$이고, 나머지 영역에서는 퍼텐셜 $V=\infty$ 라는 조건이다. (그림 참조) 이 조건에서 입자가 존재 할 수 있는 영역은 [영역2] 뿐이다.영역1 과 영역3에는 입자가 존재 할 수 없다. 자... 그럼 이 안에 ..

[슈뢰딩거 방정식] $$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)$$ 슈뢰딩거 방정식은 위와 같은 모습이 기본 형태이지만, 이걸 그대로 외우면 문제 풀 때마다 변환을 해야 하는 번거로움이 따른다. 따라서 미분 파트만 좌변에 남기고 다 우변으로 넘겨서 아래와 같은 형태를 만들어보자. $$\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}=-\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}\psi(x)$$ 위 미분방정식은 2번 미분하면 $-\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}$가 자기 자신에 곱해지는 형태가 되는 2차 미분방정식이다. 이 미방의 해는 $Ae^{ikx}$ 와 같은 형태이다. 이 해를 슈뢰딩거 방정식에 대입해보면 $$..