양자역학 3강. 확률 흐름 (Probability flux)

오늘 다룰 내용은 문제를 풀기 위해 알아야 할 개념 중에 probability flux 라는 것인데, 이 개념은 책마다 다양한 용어를 사용하고 있다.

확률 흐름, 전류 밀도, 확률 다발, flux 등등 여러가지 이름으로 불려서 헷갈릴 수 있기 때문에 오늘 유도하는 공식의 형태와 의미를 잘 이해하고 기억해서 어떤 이름으로 등장하더라도 바로 알아 챌 수 있도록 하자.

확률 흐름은 전하에 대한 연속방정식 (Continuity equation)

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{J}=0$$

위의 식으로부터 유도되는 개념이라서 Current density라고 지칭하는 책도 있다.

암튼 이 연속방정식이 뭔지부터 살펴보자.

식을 살펴보니 발산(Divergence) $\nabla \cdot \mathbf{J}$ 부분이 눈에 띈다.

즉, 위의 식은 한 지점에서 시간에 따른 밀도 변화와 그 지점을 빠져나간 (발산한) 전하의 흐름이 동일하다는 의미인데, 이는 곧 전하 보존 법칙이라고 해석 할 수 있다.

한 지점에서 전하가 빠져나갔는데 전하 밀도가 증가하는 일은 있을 수 없고, 정확히 빠져나간 양 만큼 밀도가 변한다는 의미로 어찌 보면 우리가 식을 세울 때 만족시켜야 하는 조건중에 하나라고 생각하면 된다.

이제 이 식을 양자역학적으로 의미있는 식으로 바꿔보자.

위 식에서는 전자의 흐름을 가지고 연속방정식을 세웠는데 양자역학에서는 입자가 존재할 확률만 따질 수 있기 때문에 확률에 대한 흐름을 살펴 보아야 한다.

예를 들어, 어떤 위치에서 입자가 발견될 확률이 $\frac{1}{2}$에서 $\frac{1}{3}$로 감소하고, 다른 위치의 확률이 $\frac{1}{2}$에서 $\frac{2}{3}$로 증가했다면 이 두 위치 사이엔 흘러 나오거나 흘러 들어간, 확률과 관계된 어떤 물리량이 있을 것이다.

바로 이 물리량을 확률 흐름이라고 하고 어떤 꼴인지 구해보도록 하자.

우선 전하에 대한 연속방정식에서 전하밀도 $\rho$ 가 있는 자리에 양자역학의 확률 $P$ 를 넣어보자

$$\frac{\partial}{\partial t}P+\nabla \cdot \mathbf{J}=0$$

문제를 단순화 하기 위해 1차원이라고 생각하면 발산(divergence) 항도 $x$에 대한 미분만 생각하면 되게 바뀐다.

$$\frac{\partial}{\partial t}P+\frac{\partial}{\partial x} J_x =0$$

즉, 어떤 지점에서 시간에 따른 확률의 변화는 확률 흐름 $J_x$와 아래와 같은 관계가 있다.

$$\frac{\partial}{\partial t}P=-\frac{\partial}{\partial x} J_x$$

[우리의 목적]은 $J_x$가 어떤 형태인지 알아보는 것이라는 점을 기억하고 유도 작업을 시작하자.

시작은 어떤 지점에서 양자역학적으로 입자가 발견 될 확률은 $P=\left | \psi \right |^2 =\psi^* \psi$ 라는 것을 위의 확률 흐름에 대한 연속방정식에 넣어서 아래와 같은 식을 만드는 것이다.

$$\frac{\partial}{\partial t}P=\frac{\partial}{\partial t}\left ( \psi^* \psi \right )=\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial t}+\frac{\partial \psi^* }{\partial t}\psi$$

음... $\frac{\partial \psi}{\partial t}$가 떴다

이를 풀려면 우선 시간 의존 슈뢰딩거 방정식 (Time-dependent Schrödinger Equation)을 이용해야 한다.

$$i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi = H \psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+V\psi$$

위의 슈뢰딩거 방정식은 외워야 하는 식이다.

이걸 외우는건 여러분 능력이다.

인생에 좋은 경험이라 생각하고 열심히 해야지...

방법이 없다.

이제 위의 식을 써먹을 수 있게 $\frac{\partial \psi}{\partial t}$만 남기고 다 오른쪽으로 넘겨버리면 아래와 같은 식으로 정리된다.

$$\frac{\partial \psi}{\partial t} =\left (\frac{1}{i \hbar }  \right )\left (-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+V\psi  \right )$$

그럼 위 식의 complex conjugate인 $\frac{\partial \psi^*}{\partial t}$는 아래와 같이 자동으로 구해진다.

$$\frac{\partial \psi^*}{\partial t} =\left (-\frac{1}{i \hbar }  \right )\left (-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}+V\psi^*  \right )$$

이제 위에 정리된 식을 $\frac{\partial}{\partial t}P=\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial t}+\frac{\partial \psi^* }{\partial t}\psi$ 이 식에 넣어보자.

$$\frac{\partial}{\partial t}P=\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial t}+\frac{\partial \psi^* }{\partial t}\psi$$

$$=\psi^*\left (\frac{1}{i \hbar }  \right )\left (-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+V\psi  \right )+\left (-\frac{1}{i \hbar }  \right )\left (-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}+V\psi^*  \right )\psi$$

$$=-\frac{\hbar}{i2m}\psi^*\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\left (\frac{1}{i\hbar}  \right )V \psi^* \psi+\frac{\hbar}{i2m}\frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}\psi+\left (-\frac{1}{i\hbar}  \right )V \psi^* \psi$$

식이 좀 길어서 어지러워 보이는데 $V$가 들어있는 항은 서로 상쇄돼서 없앨 수 있어서 아래와 같이 간단한 식으로 정리가 가능해진다.

$$\frac{\partial}{\partial t}P=-\frac{\hbar}{i2m}\psi^*\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\hbar}{i2m}\frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}\psi$$

자~ 이제 거의 다 했다.

애초에 우리의 목적이 뭐였는지 다시 생각 해 보자

우리는 양자역학적 확률이 한 지점에서 다른 지점으로 흘러 갈 때 그 흐름을 어떻게 표현 할 수 있을지를 찾는 것이 목적이었고 이 목적은 연속방정식$\frac{\partial}{\partial t}P=-\frac{\partial}{\partial x} J_x$ 에서 $J_x$의 형태를 찾는 것이었다.

그래서

$$\frac{\partial}{\partial t}P=-\frac{\hbar}{i2m}\psi^*\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\hbar}{i2m}\frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}\psi$$

이 식의 우변에서 $-\frac{\partial}{\partial x}$ 를 하나 꺼내보면 아래와 같은 식을 만들 수 있다.

$$\frac{\partial}{\partial t}P=-\frac{\partial}{\partial x}\left [\frac{\hbar}{i2m}\left ( \psi^*\frac{\partial \psi}{\partial x}-\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\psi \right )  \right ]=-\frac{\partial}{\partial x} J_x$$

[결론]

마지막 결과로 우리는

$$J_x=\frac{\hbar}{i2m}\left ( \psi^*\frac{\partial \psi}{\partial x}-\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\psi \right )$$

위와 같은 식을 만들 수 있다.

즉, 확률 흐름 $J_x$의 형태를 찾아 낸 것이다.

그럼 다음 강의에서는 이게 왜 필요한지 알 수 있도록 문제를 풀어 보도록 하자.