로그의 성질과 밑변환공식

[로그의 정의]

로그는 어떤 수 $a$를 몇 번 거듭제곱하면 $N$을 만들 수 있을까?

이런 궁금증에서부터 비롯된 것이다.

이 상황을 수식으로 표현하면

$$a^{\square}=N$$

이렇게 표현 가능한데, 이 때 $\square$ 안에 들어갈 녀석을 $\log_{a}N$ 이렇게 표현한다.

즉, $a$를 $\log_{a}N$번 거듭제곱하면 $N$을 만들 수 있다는 것이다.

결국 원래 로그가 있었던 위치는 지수가 있던 곳이기 때문에 지수법칙과 매우 밀접한 관련이 있다.

[로그의 성질]

① 어떤 수를 1로 만들어주는 지수는 1이다.

$$\log_{a} 1=0$$

이 식은 지수법칙 ③$a^{0}=1$ 이 식에서 유도된다. 어떤 수든 0번 거듭제곱 한 것은 1이 된다는 것을 이해하고 있어야 한다.

즉, $a$를 $\log_{a} 1$번 거듭제곱 하면 1이 나온다는 상황을 방정식으로 세우면

$$a^{\log_{a}1}=1$$

이런 상황인데 $a^{0}=1$이기 때문에 $\log_{a}1 =0$이 된다.

② $\log_{a}a=1$

지수에서 1은 생략 가능했다는 것을 기억해야 한다.

$\log_{a}a$는 $a$를 $\log_{a}a$번 거듭제곱하면 $a$가 된다는 의미이다.

식으로 표현하면

$$a^{\log_{a}a}=a$$

이렇게 표현 가능한데 $a^{1}=a$이기 때문에 $\log_{a}a=1$이다.

③ $\log_{a} MN= \log_{a}M +\log_{a}N$

$\log_{a} MN$ 이 식의 의미는 $a$를 $\log_{a} MN$번 거듭제곱하면 $MN$이 된다는 의미이고, 이 문장을 방정식으로 표현하면

$$a^{\log_{a} MN}=MN$$

이렇게 표현 가능하다.

그리고 $a$를 $M$으로 만들어주는 지수를 $\log_{a} M$으로 표현하기 때문에

$a^{\log_{a} M}=M$

이런 식을 하나 만들 수 있고,

$a$를 $N$으로 만들어주는 지수는 $\log_{a} N$ 이기 때문에

$a^{\log_{a} N}=N$

이런 식을 만들 수 있다.

이 식들을 정리하면

$$a^{\log_{a} MN}=MN=a^{\log_{a} M}\times a^{\log_{a} N}=a^{\left (\log_{a} M+\log_{a} N  \right )}$$

위와 같이 정리 가능하기 때문에 $\log_{a} MN= \log_{a}M +\log_{a}N$ 이런 관계가 있다.

④ $\log_{a}\frac{M}{N} = \log_{a}M - \log_{a}N$

기본적으로 ③번 공식 $\log_{a} MN= \log_{a}M +\log_{a}N$ 이것과 동일한데, 지수법칙 $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$에 의해서

$a^{-\log_{a} N}=\frac{1}{N}$

이런 식이 세워지기 때문에

$$a^{\log_{a} \frac{M}{N}}=\frac{M}{N}=a^{\log_{a} M}\times a^{-\log_{a} N}=a^{\left (\log_{a} M-\log_{a} N  \right )}$$

이렇게 식을 정리 할 수 있어서 $\log_{a}\frac{M}{N} = \log_{a}M - \log_{a}N$ 이런 관계를 확인 할 수 있다.

⑤ 진수의 거듭제곱은 로그 앞으로 빼낼 수 있다.

$\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M$

예) $\log_{a}M^{3}=\log_{a}\left ( M\times M\times M \right )=\log_{a}M+\log_{a}M+\log_{a}M=3\log_{a}M$

[밑 변환 공식]

이 공식은 너무 중요해서 따로 설명함

[공식 증명]

$\log_{a}b$의 의미

$$a^{\log_{a}b}=b$$

이제 $\log_{a}b=x$라고 하자!

(증명의 편의를 위한 셋팅임. 이렇게 두고 증명해야 증명하기가 편해서 이런 설정을 하는것이지 이 과정에 규칙같은건 없음. 경험적으로 알게 된 것임)

$\log_{a}b=x$ 이렇게 두면 $a^{\log_{a}b}=b$ 이 식은 $a^{x}=b$ 이렇게 바뀜

이제 양 변에 밑이 $c$인 로그를 취하면

$\log_{c}a^{x}=\log_{c}b$

이 식은 로그의 성질 ⑤번에 의해서 아래와 같이 바뀐다.

$x\log_{c}a=\log_{c}b$

좌변에 $x$만 남기고 넘겨주면

$x=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

이렇게 정리가 된다.

$$\therefore \log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$$