급수전개(1) - 멱급수 받아들이기

물리를 공부하다 보면 처음부터 정확한 해를 찾기 어려우니까 approximation(근사치)를 찾아서 점점 정확한 근사값을 찾아가는 전략을 취한다.

이 때 필요한 것이 "급수 전개"이다.

해가 어떤 형태인지 잘 모를 경우에 해를 멱급수로 놓고 문제를 푸는데...

이 전략이 뭐냐하면,

우리가 찾으려는 진짜 해는 $y$인데...

$y$가 삼각함수인지, 특수함수인지... 아얘 감도 안 잡히는 경우에

$$y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$$

위와 같은 형태라고 일단 가정하고,

고차항은 별 영향력이 없으니까 무시해서 대충 2차항이나 3차항까지만 구해서

$$y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}$$

대충 이 정도를 답이라고 하자!

이렇게 문제를 푸는 전략이다.

순수한 우리 물리 꿈나무들은 이렇게 문제를 대충대충 푸는 과정을 처음 마주하게 되면, 마치 뼈대있는 정파에서 교육 잘 받고 자란 의협심 강한 무인이 사파나 마교의 무인을 만난 것 만큼이나 큰 거부감이 들 것이다.

아니... 정확하게 문제 풀 생각은 안 하고 이렇게 대충대충 풀다니... ㅂㄷㅂㄷ

이렇게 대충대충 할거면 물리를 왜 해?

이게 공대에서 하는 짓이랑 다를게 뭐냐!!!

이런 생각이 들 수 밖에 없다.

그치만... 복잡한 미방은....

이렇게라도 하지 않으면....

해를 보여주지 않는걸!

그렇다.

물리학자들도 이 짓을 하고 싶어서 하는게 아니다.

할 수 없이 이런 짓이라도 해야 조금이나마 뭔가 알 수 있기 때문에 어쩔 수 없이 하는거다.

그러니까 오늘은 "멱급수"라는 놈을 마음으로 받아들이는 시간을 가져보자!

1. 급수란?

급수란 규칙이 있는 수열의 합을 의미한다.

고딩때 등차수열의 합, 등비수열의 합 이런걸 구해 봤을 것이다.

뭐???

문과출신이라 그런거 모른다고?

아니... 문과출신이 이걸 왜 보고 있어?

그래도 소듕한 독자들을 버릴 순 없으니 간단한 예제를 통해 급수가 뭔지 보여주겠다.

예제1) 첫 항이 $a$이고, 공비가 $r$인 등비수열의 $n$번째 항 까지의 합 $S_n$을 구하라.

문제를 식으로 표현하면 아래와 같다

$$S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ \cdots +ar^{n-1}$$

이 문제의 답을 구하는 방법은 양변에 $r$을 곱해서 원래 식에서 뺀 뒤에 $S_n$만 좌변에 남기고 식을 정리하면 된다.

$$\begin{matrix} & S_{n}&=& a +&ar+&ar^{2}+&ar^{3}+&ar^{4}+& \cdots+ &ar^{n-1}& \\ -) & rS_{n} &=& &ar+&ar^{2}+&ar^{3}+&ar^{4}+& \cdots+ &ar^{n-1}& +ar^{n} \\ \hline &\left (1-r \right )S_{n} &=&a+& 0 +&0+&0+&0+&0+&0&-ar^{n}\\ \end{matrix}$$

$$\left (1-r \right )S_{n}=a-ar^{n}$$

$$S_{n}=\frac{a-ar^{n}}{\left (1-r \right )}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}$$

이게 바로 등비수열의 합인데, 이처럼 수열을 다 더한걸 급수라고 하기 때문에 "등비급수"라는 단어로 쓰기도 한다.

2. 멱급수란?

위에서 다룬 급수는 각 항이 단순한 숫자였다.

첫항이 $a$이고 공비가 $r$이라면서 무슨 숫자냐고?

$a$랑 $r$은 문자도 아니냐고?

그렇다! 등비급수를 구하는 일반적인 공식을 찾으려고 문자로 표현 한 것이지, 사실 저것들은 숫자다!

첫 항이 3이고, 공비가 2인 등비수열의 4번째 항 까지의 등비급수를 구하려면

$$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}$$

위 식에 $a=3$, $r=2$, $n=4$을 대입하기만 하면 된다.

$$S_{4}=\frac{3\left ( 1-2^{4} \right )}{1-2}=\frac{3(1-16)}{-1}=\frac{-45}{-1}=45$$

그럼 간단하게 답이 45라는 것을 알 수 있다.

진짜 맞냐고?

3+6+12+24=45

맞다!

공식에 숫자대입하는 것 보다 그냥 더하는게 더 쉬웠다고?

$n$이 커지면 커질수록 그냥 더하는건 점점 더 어려워진다.

암튼, 급수는 단순한 숫자 항들의 합인데...

멱급수는 각 항이 단순한 숫자가 아니라 $x$의 함수로 이루어진 급수를 멱급수라고 한다.

즉,

$$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$$

이런걸 멱급수라고 한다.

이걸 왜 쓰느냐~~

우리가 실제로 다뤄야 할 함수 $f(x)$가 뭔지 잘 모르거나 엄청 복잡한 함수일 경우에 이 함수 $f(x)$를 멱급수로 쪼개버리면 더 다루기가 쉬워지기 때문에 쓰는 것이다.

어떤 함수의 멱급수를 구하는 방법은 다음 시간에 하도록 하고, 오늘은 멱급수를 받아들이는 시간이니까 사인함수를 예를 들어서 이 전략의 타당성만 보여주겠다.

사인함수를 멱급수 전개하면 아래 식과 같다.

$$\sin x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

왜냐고 묻는다면 다음시간에 알려주겠다 대답 할 수 밖에 없지만...

암튼, 이게 진짜 되는지 그래프를 그려보자!

최초 1개 항

$$\frac{(-1)^{0}x^{2\times 0+1}}{(2\times 0+1)!}=x$$

2개 항

$$\frac{(-1)^{0}x^{2\times 0+1}}{(2\times 0+1)!}+\frac{(-1)^{1}x^{2\times 1+1}}{(2\times 1+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}$$

3개

$$\frac{(-1)^{0}x^{2\times 0+1}}{(2\times 0+1)!}+\frac{(-1)^{1}x^{2\times 1+1}}{(2\times 1+1)!}+\frac{(-1)^{2}x^{2\times 2+1}}{(2\times 2+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}$$

4개

$$\frac{(-1)^{0}x^{2\times 0+1}}{(2\times 0+1)!}+\frac{(-1)^{1}x^{2\times 1+1}}{(2\times 1+1)!}+\frac{(-1)^{2}x^{2\times 2+1}}{(2\times 2+1)!}+\frac{(-1)^{3}x^{2\times 3+1}}{(2\times 3+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}$$

5개

$$\frac{(-1)^{0}x^{2\times 0+1}}{(2\times 0+1)!}+\frac{(-1)^{1}x^{2\times 1+1}}{(2\times 1+1)!}+\frac{(-1)^{2}x^{2\times 2+1}}{(2\times 2+1)!}+\frac{(-1)^{3}x^{2\times 3+1}}{(2\times 3+1)!}+\frac{(-1)^{4}x^{2\times 4+1}}{(2\times 4+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\frac{x^{9}}{9!}$$

오오!!!!!!!!

고차항을 추가하면 할 수록 사인함수 그래프와 비슷해지고 있다!!!

이처럼 어떤 함수를 멱급수로 쪼개서 표현하는 전략은 얼마나 고차항까지 고려하느냐에 달려있다.

우리가 찾는 해는 사인함수였는데 이 함수의 멱급수 최초 1개 항만 가지고 문제 풀면 $x=0$근처에서만 타당한 답이 나오고, 2번째 항 까지 고려하면 답이 비슷한 영역이 더 커지고, 고차항을 다루면 다룰 수록 실제 값과 급수해로 구한 근사값이 비슷한 범위가 점점 확장된다는 것을 위의 그래프를 통해 확인 할 수 있다.

예를 들어, 조화진동자의 운동방정식을 표현 할 때 $x$의 범위가 0 근처의 아주 작은 영역에서는 $\sin x$로 표현하든, $x$로 표현하든 별 차이가 없지만, 그 범위가 커지면 커질수록 더 차수가 높은 고차항까지 고려해야 한다는 것이다.

하지만, 오늘 기억해야 할 것은 단 하나다!

우리가 찾는 함수 형태가 어떤건지 모를 경우에는 이미 알고 있는 함수들을 여러개 더해서 멱급수로 만들어서 문제를 푸는 전략이 어느정도 타당성이 있는 방법이라는 것만 기억하면 된다.

왜냐하면 이 전략을 택하는 경우는 양자역학에서 원자 핵 주위를 도는 전자와 같이 아주 작은 영역을 다루는 경우가 대부분이라서 2차항 정도 까지만 고려를 해도 계산값과 측정값이 거의 맞아떨어지기 때문에 유용하게 쓰인다.

그러니까 급수전개 방법에 너무 거부감을 갖지 말고,

아~ 이렇게 대충 풀어도 꽤 정확한 값이 나오네?

오호~~ 이거 쓸만한데?

이렇게 받아들이는 긍정적인 자세를 가져보도록 하자!

오늘의 목적은 함수를 급수전개해서 대충 문제푸는 방법에 대한 거부감을 조금이나마 해소하려고 했던 거니까...