거듭제곱과 지수법칙

[거듭제곱]

거듭제곱이란 어떤 수를 여러 번 반복해서 곱해주는 것이다.

예) $a$를 3번 곱함 : $a \times a \times a = a^{3}$

[지수법칙]

밑($a$)가 양수라는 전제 하에서 지수를 계산하는 규칙들을 모아놓은 것.

밑이 양수가 돼야 하는 이유 : 만약에 밑이 음수라면 짝수번 거듭제곱 할 때 마다 양수가 돼서 계산 규칙이 복잡해짐. 고등학교 과정에서는 밑이 양수인 경우만 다룸.

① 가장 중요하고 기본이 되는 지수 법칙 - 밑의 거듭제곱의 곱이 지수의 합으로 바뀐다.

$$a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$$

   예) $${\color{Red} {a^{2}}}\times {\color{Blue} {a^{3}}}={\color{Red} {a \times a}} \times{\color{Blue} {a \times a \times a}}=a^{{\color{Red} 2}+{\color{Blue} 3}}=a^{5}$$

② 지수가 음수인 경우

$$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$

 지수가 음수가 되면 어떤 상황이 펼쳐지는지 생각해봐야 함

 ①번 지수법칙에 대입했을 때 지수가 빼지는 상황이라는 것은 밑($a$)를 나눠주는 상황이라는 것을 이해하고 있어야 함

 예) 

$$a^{{\color{Red} {5}}-{\color{Blue} {3}}}={\color{Red} {a\times a\times a \times a \times a}}\times {\color{Blue} {\frac{1}{a} \times \frac{1}{a} \times \frac{1}{a}}}=a^{2}$$

$$\therefore a^{-3}=\left (\frac{1}{a}  \right )^{3}=\frac{1}{a^{3}}$$

③ 지수가 0인 경우

$$a^{0}=1$$

 ①번 지수법칙을 이용해서 지수를 0을 만들려면 똑같은 수를 지수에서 빼주면 되는 상황이기 때문에 아래와 같은 관계가 있다.

$$a^{0}=a^{{\color{Red} {2}}-{\color{Blue} {2}}}={\color{Red} {a\times a}}\times {\color{Blue} {\frac{1}{a} \times \frac{1}{a}}} = 1$$

④ 거듭제곱근의 지수 표현

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

원래 거듭제곱근의 의미가 $n$번 곱해서 $a$를 만들어주는 수를 이렇게 표기하자고 약속 한 것이기 때문에 $\sqrt[n]{a}$ 이걸 $n$번 거듭제곱 하면 $a$가 나온다.

예)  $\sqrt[3]{2}$의 의미는 "3번 거듭제곱 했을 때 2를 만들어주는 수" 라는 의미이므로 아래와 같은 관계식을 세울 수 있다.

$$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{2} = 2$$

이 상황을 지수 형태로 표현하면

$$2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\left ( \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \right )}=2^{\left ( 3\times \frac{1}{3} \right )}=2$$

이렇게 표현 가능하기 때문에 $\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}$

즉, $n$제곱근을 지수로 표현 할 때에는 $n$이 $\frac{1}{n}$으로 바뀌면서 지수로 올라간다.