1. 고체의 원자 배열(1) - 여러가지 단위셀과 Miller index

1. 고체의 원자 배열

반도체 서적을 보면 항상 결정구조부터 나오는데, 이 부분은 전혀 어려운 내용은 아니다.

핵심만 요약하면.

반도체는 입자 배열이 규칙적인 결정 구조를 가지고 있기 때문에 단위셀(Unit Cell)을 정하고 분석하는 방법으로 반도체 특성을 분석하는 것이 편하다.

이게 끝이다.

그래도 아얘 언급도 안 하고 넘어가기에는 매우 기본적이고 중요한 부분이기도 하니까 중요한 내용만 빠르게 요약하고 끝내겠다.

고체의 결정은 단결정(single crystal), 다결정(poly-crystal), 비결정(amorphous)로 구분 할 수 있다.

단결정과 비결정은 따로 공부 할 건 없고, 다만 다결정인 경우에는 전기적 성질을 좌우하는 요소중에 단위결정의 크기와 grain boundary가 중요하기 때문에 이런게 있구나~~ 하는 느낌으로 아래 그림을 보자!

이미지 출처 : http://www.bnm.mtl.kyoto-u.ac.jp/outline/background_e.html

위의 그림을 보면 알 수 있듯이, 다결정 구조는 여러 결정들이 모여서 구성되는 것이기 때문에 단위 결정(crystal grain)이 있고, grain간의 경계를 결정 경계(grain boundary)라고 한다. 이 때, crystal grain의 크기에 따라 전기적 특성이 크게 달라질 수 있다.

아래 표는 실제 반도체 소자를 만들 때 사용되는 재료들을 정리 한 것이다.

구분	결정	고체	응용 예
반도체	단결정	실리콘(si), 게르마늄(Ge)	고성능 전자 소자 및 집적회로  수광/광검출 소자  이미지센서
		GaAs, AlAs, InP, InAs, GaP, GaN, AlN  AlGaAs, InGaAs, InGaAsP, AlGaN	초고속/초고주파 전자소자  발광/수광 소자
	다결정	Poly-Si	태양전지  디스플레이용 트랜지스터  MOSFET의 게이트
	비정질	a-Si	태양전지  대면적 디스플레이용 트랜지스터
		비정질 산화물 반도체  (AOS : Amorphous Oxide Semidonductor)	대면적 투명 디스플레이용 트랜지스터
부도체		$\text{SiO}_{2} , {\text{Si}_3}{\text{N}_4} , {\text{Al}}_2{\text{O}}_3$	반도체 및 집적회로의 절연막

주기적인 원자 배열이 중요한 이유는, 원자는 양성자와 전자로 이루어져 있기 때문에 규칙적으로 정렬이 잘 되어 있는 결정 구조에서는 주기적인 형태의 정전기적 에너지 장벽(electrostatic potential energy barrier)이 형성되고, 이에 의해 반도체의 전기적 특성이 결정되기 때문이다.

[단위셀과 기본벡터]

당연한 얘기지만 양자역학으로 반도체를 이루고 있는 셀 수도 없는 수의 입자를 모두 헤아리는 것은 불가능하기 때문에 규칙을 이루는 최소단위를 찾아내서 분석하는 것이 좋다. 이 부분은 매우 기본적이고 직관적인 부분이라, 어떤 책을 본다 하더라도 이해 할 수 없는 내용은 안 나온다.

이 부분에서 막혀서 쩔쩔 매는 사람은 없을 것이라고 생각하고, 위그너-자이츠 셀에 대해서만 다루겠다.

[Wigner-Seitz Cell]

위그너-자이츠 셀을 그리는 법은 다음과 같다.

1. 임의의 원자 1개를 선택한다.

2. 가장 가까운 원자들과 1에서 선택한 임의의 원자를 연결하는 선을 그린다.

3. 두 번째로 가까운 원자들과 1에서 선택한 임의의 원자를 연결하는 선을 그린다. ( 필요한 만큼 이 과정을 반복한다.)

4. 원자들끼리 연결한 선의 수직 이등분선(3차원인 경우 수직 이등분 면)을 구한다.

5. 수직이등분선(면)이 1에서 선택한 임의의 원자를 완벽하게 둘러 싼다면, 그 영역을 WSC(Wigner-Seitz Cell)이라고 한다.

이런 과정을 통해 만든 WSC는 항상 동일한 형태와 크기를 갖고, 내부에 존재하는 유효 원자수도 반드시 1개이다.

[고체의 결정 구조]

결정 구조는 여러가지가 있는데 몇 개를 예를 들어 소개한다.

아래 그림들은 CDF뷰어를 설치하면 이리저리 돌려보기도 하면서 더 재미지게 가지고 놀 수 있다.

1. Simple Cubic 

- 단위셀을 구성하는 기본벡터들의 크기가 서로 같고 직각을 이룬 가장 단순한 형태의 결정 구조

정육면체의 꼭지점 8개에 원자가 위치하는데, 단위 셀 안에 포함되는 원자는 각각 $\frac{1}{8}$개 이고, 이런 조각이 각 꼭지점마다 있기 때문에 Simple Cubic 구조의 단위셀 내의 유효 원자수는 1개이다.

따라서, 단위 체적당 원자 밀도는 다음과 같다.

$$n_{u,SC}=\frac{단위셀 내의 유효 원자수}{단위셀의 체적}=\frac{1}{a^3}[cm^{-3}]$$

2. Body-Centered Cubic 

- Simple Cubic 구조의 중심에 원자가 하나 더 존재하는 구조

즉, Simple Cubic의 꼭지점 8개에서 유효 원자 1개가 조합되고, 단위셀 중심부에 온전한 1개의 원자가 존재하기 때문에 단위셀 내 유효 원자수는 2개이고, 원자 밀도는 다음과 같다.

$$n_{u,BC}=\frac{2}{a^3}[cm^{-3}]$$

3. Face-Centered Cubic 

- Simple Cubic 구조를 형성하는 6개의 면 중심마다 원자가 하나 더 존재하는 구조

Simple Cubic과 같이 8개의 꼭지점마다 $\frac{1}{8}$개씩의 원자가 존재하고, 6개의 면 중심마다 $\frac{1}{2}$개씩의 원자가 존재한다.

즉, FCC구조의 단위셀 내의 유효원자수($N_{u,FCC}$)과 원자 밀도($n_{u,FCC}$)는 다음과 같다.

$$N_{u,FCC}=\frac{1}{8}\cdot 8 +\frac{1}{2}\cdot 6=4$$

$$n_{u,FCC}=\frac{4}{a^3}[cm^{-3}]$$

4. Diamond Structure 

- 동일한 원자로 이루어진 경우는 다이아몬드 구조, 서로 다를 원자로 이루어진 경우는 섬아연광(Zinc-blende)구조라고 한다.

실리콘과 게르마늄의 결정구조가 Diamond 구조이고, GaAs와 InP는 섬아연광 구조이다.

이 구조는 FCC구조 안에 온전한 원자가 4개 더 들어가 있는 구조이기 때문에 유효 원자수는 FCC구조보다 4개 더 많은 8개이다.

따라서 원자 밀도는 다음과 같다

$$n_{u,Diamond}=\frac{8}{a^3}[cm^{-3}]$$

[Miller index]

극단적인 예를 들어, 단결정 실리콘 덩어리 잉곳을 슬라이싱 할 때 정상적인 방향으로 슬라이싱 하지 않고 대각선 방향으로 슬라이싱 한다고 생각 해 보자. 그럼 웨이퍼 표면 원자 배열이 정상적인 배열이 아닐 것이다. 반도체 제조 과정에서는 원자의 배열 상태도 무시 할 수 없는 정밀도를 요구하기 때문에 결정면에 대한 정보도 기록해야 하고, 이 때 사용하는 것이 Miller index이다.

결정면과 기본 벡터축의 교점을 구하고, 그 교점에 역수를 취한 값을 괄호 안에 콤마 없이 기입한 것이 밀러 지수이고, 여러 가지 예시는 다음 그림을 참고하면 된다.

만나는 교점이 음수값인 경우 값 위에 바(-)를 그려서 음수값임을 표시한다.

이미지 출처 http://en.wikipedia.org/wiki/Miller_index