2. 양자역학(1) - 연산자 이해하기

2. 양자역학(1) - 연산자 이해하기

[양자역학이 반도체 물리학이랑 뭔 상관이야?]

반도체나 고체물리와 같이 물질을 원자단위에서 분석하는 분야에서 양자역학은 필수이다.

하지만 양자역학에 대해 자세히 다루기 시작하면 한도 끝도 없기 때문에 간단하게 언급만하고 넘어가겠다.

양자역학을 배우면 가장 먼저 접하는 것이 슈뢰딩거의 파동방정식이다.

처음에는 이유도 모르고 그냥 슈뢰딩거 방정식을 푸는 연습을 하게 된다.

그래서 Shut up and calculate라는 유명한 말이 있을 정도이다.

그럼 이렇게 이유도 모르고 계산해서 얻은 슈뢰딩거 방정식의 해는 어디다 쓰는 것일까?

잠깐 현실 세계로 돌아와서 측정이라는 행위에 대해 생각해보자.

내 몸무게를 알고 싶으면 저울에 올라가면 되고, 키를 알고 싶으면 자로 재면 된다.

이런게 측정이다.

그런데 별로 설명 할 것도 없는 내용인데 위 상황을 이렇게 바꿔서 생각해 보자.

나라는 상태에는 나에 대한 모든 정보가 전부 다 들어있다.

그 중에서 관심있는 물리량을 꺼내보고 싶으면 적당한 측정장비에 나를 올려놓기만 하면 관측하려하는 정보가 자동으로 튀어나온다.

예를 들어, 내 몸무게를 알고 싶으면 나라는 상태를 저울이라는 측정장비에 대입하면 내 안에 들어있는 수많은 정보 중에 몸무게에 대한 값만 튀어나온다.

왜 똑같은 말을 억지로 다르게 표현했는지 의아할 수도 있는데 이게 바로 양자역학이다.

슈뢰딩거 방정식을 풀어서 얻은 해는 파동함수라고 불리는데, 이 파동함수에는 우리가 분석하고자 하는 입자의 모든 정보가 다 들어가 있는 상태이다.

이 파동함수를 운동량 연산자에 대입하면 운동량의 기댓값이 나오고, 운동에너지 연산자에 대입하면 운동에너지 기댓값이 나온다.

그리고, 반도체 물리학에서는 결정 내의 전하(Carrier)들이 어떻게 움직이는지에 관심이 있기 때문에 운동에너지 기댓값을 토대로 분석하게 될 일이 많다.

즉, 원자 단위에서 운동에너지를 분석해야 하기 때문에 양자역학이 꼭 필요하고, 지금 이 강좌에서는 반도체 물리학에 필요한 양자역학만 다룰 것이다.

그 보다 더 깊은 내용은 양자역학 강좌를 따로 만들어서 다루도록 하겠다.

[연산자 빠르게 훑기]

양자역학을 배우면 가장 먼저 배우는 슈뢰딩거 방정식을 한 번 살펴보자.

$$\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V\right)\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi$$

이 식의 의미는 매우 단순하다.

운동에너지 + 위치에너지 = 총 에너지

이거다.

$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Rightarrow$ 운동 에너지 연산자

$V \Rightarrow$ 위치 에너지 연산자

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Rightarrow$ 총 에너지 연산자

그리고 각각의 연산자에는 파동함수 $\Psi$가 대입되어야만 의미있는 값이 튀어나온다.

저울에도 내가 올라가야 내 몸무게에 해당하는 값이 나오는 것이지 아무것도 저울에 올라가 있지 않으면 아무런 값이 나오지 않는 것과 마찬가지라고 생각하면 된다.

연산자는 혼자서는 아무 의미가 없다. 입자에 대한 모든 정보를 내포하고 있는 파동함수가 연산자랑 만나야지만 비로소 의미가 있어 지는 것이다.

[외우고 있어야 하는 파동함수]

그럼 연산자 공부는 끝났고... 파동함수가 남았는데...

우리가 꼭 외우고 있어야 하는 파동함수는 아래와 같은 형태이다.

$$\Psi_{(x,t)}=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx+\omega t)}$$

[운동에너지와 k의 관계]

운동에너지 연산자 $-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$를 살펴보면 시간에 대한 부분이 없다.

따라서 파동함수의 공간에 대한 부분만 따로 떼 와서 적용하면

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\left(Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\right)$$

$$=-\frac{\hbar^2}{2m}\left((ik)^2Ae^{ikx}+(-ik)^2Be^{-ikx}\right)$$

$$=\frac{\hbar^2k^2}{2m}\left(Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\right)$$

따라서 운동에너지 기댓값 $E_k=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$이 된다.

즉, k는 운동에너지와 매우 밀접한 관련이 있는 값이기 때문에 반도체를 이론적으로 분석 할 때 매우 중요한 변수이다.

이 k를 잘 이용하기 위해 reciprocal space를 설정 했던 것이고, 그래서 역격자 공간을 k-space라고 부르기도 한다.

이제 뭔가 하나하나 퍼즐이 맞춰지기 시작하고 있다!